Πρόγραμμα Σπουδών για το μάθημα: |
| 1η Ενότητα |
1. Ταξινόμηση και κανονικοποίηση Εισαγωγή Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων Κανονική μορφή διαφορικών εξισώσεων Φυσική σημασία ταξινόμησης |
| 2η Ενότητα |
2. Μέθοδος συνάρτησης Green Συνάρτηση Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Κατασκευή συναρτήσεων Green Ολοκλήρωμα Poisson σε κύκλο και σφαίρα Συνάρτηση Green για μερικές διαφορικές εξισώσεις Κατασκευή συναρτήσεων Green σε R2 και R3 Πεδία ορισμού με όρια στο άπειρο Μέθοδος αντίστροφης απεικόνισης Μέθοδος των ειδώλων Εφαρμογές (Εξισώσεις δυναμικού, Poisson, Helmholtz, κύματος, θερμότητας) |
| 3η Ενότητα |
3. Εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων 1ης τάξης Χρήσιμες έννοιες διανυσματικού λογισμού Παραμετροποίηση καμπυλών Μέθοδος χαρακτηριστικών - Πρόβλημα Cauchy Γραμμικές εξισώσεις Σχεδόν γραμμικές εξισώσεις (semi-linear) Ημι-γραμμικές εξισώσεις (quasi-linear) Επίλυση της Συστήματα εξισώσεων Η μέθοδος των χαρακτηριστικών σε υπερβολικά συστήματα 1ης τάξης Εφαρμογές (Εξισώσεις Euler) |
| 4η Ενότητα |
4. Υπερβολικές εξισώσεις 2ης τάξης Λύση D’ Alembert Εξίσωση κύματος στον ημίχωρο Μη ομογενής εξίσωση κύματος – Μέθοδος Duhamel Εξίσωση κύματος σε τρεις διαστάσεις Μέθοδος σφαιρικών μέσων Μέθοδος Hadamard Εφαρμογές |
| 5η Ενότητα |
5. Θεωρία δυναμικού Αρμονικές συναρτήσεις Ταυτότητες Green Μιγαδικές συναρτήσεις Ιδιότητα μέσης τιμής και αρχή μεγίστου – ελαχίστου Χαρακτηριστικά και ιδιότητες λύσεων προβλημάτων Dirichlet, Newman και Robin Eξίσωση Helmholtz – Μέθοδος συναρτήσεων Green |
| 6η Ενότητα |
Παραβολικές εξισώσεις Διατύπωση εξίσωσης θερμότητας Πρόβλημα αρχικών τιμών – Μετασχηματισμός Fourier Μη ομογενής εξίσωση θερμότητας – Μέθοδος Duhamel Εξίσωση θερμότητας σε n διαστάσεις Γενικές αρχές για την εξίσωση θερμότητας Ύπαρξη, μοναδικότητα και συνεχή εξάρτιση λύσης από τα δεδομένα Πρόβημα αρχικών – οριακών τιμών Εξίσωση Ornstein –Uhlenbeck Εξίσωση Burger –Μετασχηματισμός Hopf-Cole Εφαρμογές |
| 7η Ενότητα |
7. Ολοκληρωτικές εξισώσεις Εισαγωγή Πυρήνες και ολοκληρωτικοί τελεστές Hilbert – Schmidt Εξισώσεις Fredholm 1ου και 2ου είδους Εξισώσεις Volterra Ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις Ολοκληρωτικές - διαφορικές εξισώσεις Εφαρμογές |