1. Ταξινόμηση και κανονικοποίηση
Εισαγωγή
Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων
Κανονική μορφή διαφορικών εξισώσεων
Φυσική σημασία ταξινόμησης
2. Μέθοδος συνάρτησης Green
Συνάρτηση Green για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις
Κατασκευή συναρτήσεων Green
Ολοκλήρωμα Poisson σε κύκλο και σφαίρα
Συνάρτηση Green για μερικές διαφορικές εξισώσεις
Κατασκευή συναρτήσεων Green σε R2 και R3
Πεδία ορισμού με όρια στο άπειρο
Μέθοδος αντίστροφης απεικόνισης
Μέθοδος των ειδώλων
Εφαρμογές (Εξισώσεις δυναμικού, Poisson, Helmholtz, κύματος, θερμότητας)
3. Εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων 1ης τάξης
Χρήσιμες έννοιες διανυσματικού λογισμού
Παραμετροποίηση καμπυλών
Μέθοδος χαρακτηριστικών - Πρόβλημα Cauchy
Γραμμικές εξισώσεις
Σχεδόν γραμμικές εξισώσεις (semi-linear)
Ημι-γραμμικές εξισώσεις (quasi-linear)
Επίλυση της
Συστήματα εξισώσεων
Η μέθοδος των χαρακτηριστικών σε υπερβολικά συστήματα 1ης τάξης
Εφαρμογές (Εξισώσεις Euler)
4. Υπερβολικές εξισώσεις 2ης τάξης
Λύση D’ Alembert
Εξίσωση κύματος στον ημίχωρο
Μη ομογενής εξίσωση κύματος – Μέθοδος Duhamel
Εξίσωση κύματος σε τρεις διαστάσεις
Μέθοδος σφαιρικών μέσων
Μέθοδος Hadamard
Εφαρμογές
5. Θεωρία δυναμικού
Αρμονικές συναρτήσεις
Ταυτότητες Green
Μιγαδικές συναρτήσεις
Ιδιότητα μέσης τιμής και αρχή μεγίστου – ελαχίστου
Χαρακτηριστικά και ιδιότητες λύσεων προβλημάτων Dirichlet, Newman και Robin
Eξίσωση Helmholtz – Μέθοδος συναρτήσεων Green
6. Παραβολικές εξισώσεις
Διατύπωση εξίσωσης θερμότητας
Πρόβλημα αρχικών τιμών – Μετασχηματισμός Fourier
Μη ομογενής εξίσωση θερμότητας – Μέθοδος Duhamel
Εξίσωση θερμότητας σε n διαστάσεις
Γενικές αρχές για την εξίσωση θερμότητας
Ύπαρξη, μοναδικότητα και συνεχή εξάρτιση λύσης από τα δεδομένα
Πρόβημα αρχικών – οριακών τιμών
Εξίσωση Ornstein –Uhlenbeck
Εξίσωση Burger –Μετασχηματισμός Hopf-Cole
Εφαρμογές
7. Ολοκληρωτικές εξισώσεις
Εισαγωγή
Πυρήνες και ολοκληρωτικοί τελεστές Hilbert – Schmidt
Εξισώσεις Fredholm 1ου και 2ου είδους
Εξισώσεις Volterra
Ιδιόμορφες ολοκληρωτικές εξισώσεις
Ολοκληρωτικές - διαφορικές εξισώσεις
Εφαρμογές |
