ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

MM501 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

Κατηγορία Μαθήματος: Προπτυχιακό
Τύπος Μαθήματος: Υ
Κωδικός Γραμματείας: ΓΕ0105
Εξάμηνο:
5° (Χειμερινό)

Διάρκεια:

5 ώρες/εβδ.
ECTS Units:
6
Διδάσκων:
Βαλουγεώργης Δημήτρης
 
 
 

Σκοπός

Το μάθημα στοχεύει να ενισχύσει την θεωρητική και εφαρμοσμένη γνώση του φοιτητή στην υπολογιστική επίλυση μηχανολογικών προβλημάτων και εντάσσεται στη γενικότερη προσπάθεια που γίνεται στο ΤΜΜΒ ώστε να αναβαθμιστούν οι ικανότητες των φοιτητών του τμήματος στις νέες τεχνολογίες, στη πληροφορική και στην ανάπτυξη και εφαρμογή τεχνικού λογισμικού.

Η ύλη του μαθήματος περιλαμβάνει επίλυση αλγεβρικών συστημάτων, αριθμητική παρεμβολή, παραγώγιση και ολοκλήρωση και αριθμητική επίλυση συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Περιεχόμενα

Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες)
2.1 Επίλυση εξισώσεων
2.2 Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους
2.2.1 Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jordan και Thomas
2.2.2 Παραγοντοποίηση LU και LDU
2.2.3 Ασταθή συστήματα, νόρμες πινάκων, δείκτης κατάστασης πίνακα
2.3 Επίλυση συστημάτων με επαναληπτικές μεθόδους 
2.3.1 Μέθοδος Jacobi
2.3.2 Μέθοδος Gauss-Seidel
2.3.3 Μέθοδοι S.O.R.
2.3.4 Σύγκριση επαναληπτικών μεθόδων και ορισμός φασματικής ακτίνας
2.4 Μέθοδος Newton-Raphson

Κεφ. 3: Παρεμβολή (διάρκεια: 2 εβδομάδες)
3.1 Εισαγωγή 
3.2 Πίνακες διαφορών και τελεστές πεπερασμένων διαφορών
3.3 Πολυωνυμική παρεμβολή
3.5 Παρεμβολή με κυβικές “splines”
3.5 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

Κεφ. 4: Παραγώγιση (διάρκεια: 1 εβδομάδα)
4.1 Εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών με σειρά Taylor
4.2 Εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών με πολυωνυμική παρεμβολή

Κεφ. 5: Ολοκλήρωση (διάρκεια: 2 εβδομάδες)
5.1 Εισαγωγή
5.2 Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newton Cotes 
5.2.1 Κανόνας τραπεζίου
5.2.2 Πρώτος και δεύτερος κανόνας Simpson
5.2.3 Προεμβολή Richardson
5.2.4 Ολοκλήρωση Romberg
5.3 Ολοκλήρωση Gauss 
5.3.1 Πολυώνυμα Legendre, Chebyshev και Hermite, σχέσεις ορθογωνικότητας πολυωνύμων
5.3.2 Ολοκλήρωση Gauss-Legendre, Gauss-Chebyshev και Gauss-Hermite
5 .4 Πολλαπλά ολοκληρώματα 

 

Κεφ. 6. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές - Προβλήματα οριακών τιμών (διάρκεια: 2,5 εβδομάδες)
6.1 Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών
6.2 Προβλήματα δύο οριακών τιμών
6.3 Εξισώσεις πεπερασμέων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 
6.4 Κυλινδρικές συντεταγμένες 
6.5 Οριακές συνθήκες με παραγώγους 
6.6 Παραδείγματα 

Κεφ. 7. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα αρχικών τιμών (διάρκεια: 2 εβδομάδες)
7.1 Εισαγωγή
7.2 Μέθοδος Euler
7.3 Μέθοδοι Runge-Kutta
7.4 Αριθμητική επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων
7.5 Ευστάθεια και σφάλματα μεθόδων R-K

Βιβλιογραφία

Steven C. Chapra & Raymond P. Canale, Numerical Methods for Engineers, McGraw Hill.
B. Carnahan, H. A. Luther & J. O. Wilkes, Applied Numerical Methods, John Wiley & Sons.
Μιχαήλ Ν. Βραχάτης, Αριθμητική Ανάλυση, Ελληνικά Γράμματα.
Γ. Δ. Ακρίβης & Β. Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητικη Ανάλυση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
Ι. Σαρρής & Θ. Καρακασίδης, Αριθμητικές Μέθοδοι και Εφαρμογές για Μηχανικούς, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & Υιοι Α.Ε.
Εργαστηριακές Ασκήσεις

Βλέπε "Εκπαιδευτικό Υλικό".
Υπολογιστικές Ασκήσεις

Βλέπε "Εκπαιδευτικό Υλικό".